调和平均数

2025年5月11日 星期日

14:01

★Bessel correction贝塞尔修正

So why do we subtract 1 when using these formulas?

The simple answer: the calculations for both the sample standard deviation and the sample variance both contain a little bias (that’s the statistics way of saying “error”). Bessel’s correction (i.e. subtracting 1 from your sample size) corrects this bias. In other words, you’ll usually get a more accurate answer if you use n-1 instead of n.

总结：估计样本方差时，应该用到的公式是： ，而实际用到的公式：，是样本的均值，当样本数量较小时，与 是有偏差的，

 而且 Any x-value in your sample is going to be closer to  than to μ，这一事实会造成 比 大，因此除以一个比n小一点的数进行修正。

 

 

 

★Harmonic mean 调和平均值

理解调和平均，只需要记住这个公式： A的工作量+B的工作量 = 总的工作量

例子：汽车以100km/h的速度行驶了1km，然后又以200km/h的速度返程，问来回的平均速度是多少？

这个例子中, A的工作量=去时行驶1km所花费的时间 ，B的工作量= 返程时所花费的时间，总的工作量=来回总共花费的时间。

即1/100 + 1/200  = 2/(来回的平均速度) ，求得来回的平均速度=133.33km/h，小于算术平均值150km/h。也就是说调和平均可以看成是加权平均，smaller values have bigger weights。这个例子中，调和平均相当于权重分别是2/3和1/3的加权平均，即2/3*100 + 1/3*200 = 133.33。

所以，我和马化腾的收入的平均值是好几亿，但是我和马化腾的收入的调和平均值是好几千，所以不应该计算居民收入的平均值，而应该计算居民收入的调和平均值。

也就是说，要想平均值高，只要有一个数很高即可，但是要想调和平均值高，需要两个数都高。

 

加权调和平均：

为什么小于150,因为返程的时间小于去时的时间，如果返程的时间等于去时的时间，也就相当于去时行驶1km,返程时行驶2km，即1/100 + 2/200 = 3/(来回的平均速度)，此时来回的平均速度就是150km/h。这个例子就是加权调和平均，1/100 + 2/200 = 3/(来回的平均速度)，1和2相当去时和返程时的权重，此时来回的平均速度比不加权重时的要大。

 

另一个例子：

管道A蓄满水池需要2小时，管道B蓄满水池需要3小时，那么两个管道同时打开，需要多长时间蓄满水池？

这个例子中，A的工作量=管道A打开1小时的蓄水量 ，B的工作量 = 管科B打开1小时的蓄水量 ，总的工作量= 管道A和B同时打开1小时的蓄水量，即

1/2 + 1/3 = 1/(A和B同时打开时蓄满水池的时间)，注意这里等号右边的分子是1，而不是2，与标准的调和平均公式有出入 ，但是我总结的公式A的工作量+B的工作量 = 总的工作量 依然适用。

 

总结：调和平均是一种自动化的加权平均，自动给予数值小的一方更多的权重，使平均值的计算更有可比性。